GitHubへ普段からローカルでsshを使った方法でpushしたりcloneしている場合、リモート先からだと秘密鍵がないのでそういったことができなくなります。
そういうときはssh-addコマンドを使います。以下で登録できます。
ssh-add <リモートで必要な秘密鍵へのパス>
ssh-add -l
# 登録できていればここにそれが出る上記だと再起動した後リセットされてしまいますが-Kで登録することでこれを回避できます。
ssh-add -K <リモートで必要な秘密鍵へのパス>接続する
ssh時に-Aオプションを付けてあげるだけです。
ssh -A ...リモート先でもssh-add -lして出てくれば完璧です。
.ssh/config の設定
.ssh/configの設定でForwardAgent yesと設定することで-Aを指定してるのと同じ意味で接続できます。常に-A`したいようなマシンに接続したい場合はこの設定をすると良いです。