発火しないです。

Codesandbox: 同じ値で update したら onSnapshot は発火するか

以下はその確認で作成したデモです。<input>に入力した値が違う時のみアラートがでるのがわかります。

認証コールバック URL を取得

まずは「 Authentication → ログイン方法 → GitHub」を選択し、以下のフォームから認証コールバック URL をコピーしておきます。

OAuth App を作る

まずは認証に使う OAuth App を作り、クライアントIDとクライアントシークレットを発行する必要があります。

これは Settings の

から「 Create Oauth App 」をクリックし、

以下の情報を埋めて「 Register Application 」します。
「 Authorization Callback URL 」には先程コピーした認証コールバック URL をペーストします。

２つの値が発行されました

Firebase 側のフォームを埋める

再度先程のページ（「 Authentication → ログイン方法 → GitHub」）を開き、以下のフォームに先程の２つの値をコピペし、「保存」します。

functions のデプロイで async-arrow-function 周りでシンタックスエラー

多分NodeJS6が使われいるためです。

package.jsonのengineで8を指定しましょう。